Processing math: 100%
img

Các dạng bài tập bất đẳng thức thường gặp trong toán 9

Tác giả Hoàng Uyên 16:45 19/12/2024 11 Tag Lớp 9

Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình Toán 9, yêu cầu khả năng tư duy logic và kỹ thuật làm bài vững chắc. Bài viết này sẽ tổng hợp những dạng bài tập bất đẳng thức thường gặp cùng với cách giải chi tiết để bạn làm chủ dạng toán này.

Các dạng bài tập bất đẳng thức thường gặp trong toán 9
Mục lục bài viết
1. Các dạng bài tập bất đẳng thức cosi (Cauchy)
1.1 Tổng quan kiến thức
1.2 Một số ví dụ về dạng bài tập bất đẳng thức cosi
2. Các dạng bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki
2.1 Tổng hợp kiến thức
2.2 Một số dạng bài tập

1. Các dạng bài tập bất đẳng thức cosi (Cauchy) 

1.1 Tổng quan kiến thức

  Dạng hai số không âm Dạng ba số không âm Dạng tổng quát với n số không âm
Tổng sang tích x+y2xy x+y+z33xyz x1+x2+...+xnnnx1x2...xn
Tích sang tổng xyx+y2
xy(x+y2)2
3xyzx+y+z3
xyz(x+y+z3)3
nx1x2...xnx1+x2+...+xnn
x1x2...xn(x1+x2+...+xnn)n
Dạng lũy thừa

x2+y22xy
xyx2+y22

Dấu "=" xảy ra khi x = y

3xyzx+y+z3
xyzx3+y3+z33
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

xn1+xn2+...+xnnx1x2...xn
x1x2...xnxn1+xn2+...+xnnn

Dấu "=" xảy ra khi x1 = x2 =...= xn

Dạng đặc biệt x=x.1x2+12 x=x.1.1x3+y3+z33 x=x.1.1.....1xn+n1n

* Bất đẳng thức trung gian: 

1x+1y4x+yx>0;y>0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y. 

1x+1y+1z9x+y+zx>0;y>0;z>0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 

1.2 Một số ví dụ về dạng bài tập bất đẳng thức cosi

a. Dạng bài tổng sang tích

Bài 1: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 4x2 - 3x + 14x + 2011.

Lời giải: Có M = 4x2 - 3x + 14x + 2011

=(2x1)2+(x+14x)+20100+2x.14x+2010=2011

Vậy MinM = 2011 khi x=12

Bài 2: Cho x > y > 0 và xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=x2+y2xy

Có H=x2+y22xy+2xyxy=(xy)2+4xy

=(xy)+4xy2(xy).4xy=4

Vậy MinH = 4 khi: 

{xy=4xyxy=2{xy=2xy=2{y=2xx22x2=0{x=3+1y=31

b. Dạng bài tích sang tổng, nhân bằng số thích hợp

Bài 1: Cho a0;b0;a2+b22. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=ab(a+2b)+ba(b+2a)

Lời giải:
Xét: M.3

=a3b(a+2b)+b3a(b+2a)a.3b(a+2b)2+b.3a+(b+2a)2=a2+b22+5aba2+b22+5.a2+b226M23

Vậy MaxM = 23 khi a = b = 1

Bài 2: a1;b1. Chứng minh ab1+ba1ab

Có: b1=1.(b1)1+(b1)2=b2ab1ab2

Và tương tự: 

ba1ab2ab1+ba1ab2+ab2=abdpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2.  

c. Dạng bài qua một bước biến đổi rồi sử dung BĐT cosi

Bài 1: Cho a > 0; b > 0; c > 0 và ab + bc + ac = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=a2c(c2+a2)+b2a(a2+b2)+c2b(b2+c2)

Lời giải: 
Có: P=a2c(c2+a2)+b2a(a2+b2)+c2b(b2+c2)

=a2+c2c2c(c2+a2)+b2+a2a2a(a2+b2)+c2+b2b2b(b2+c2)

=(1ccc2+a2)+(1aaa2+b2)+(1bbb2+c2)(1cc2c2a2)+(1aa2a2b2)+(1bb2b2c2)

=(1c12a)+(1b12b)+(1b12c)=12(1a+1b+1c)=ab+bc+ac2abc=32

Vậy MinP = 3/2 khi a = b = c = 1. 

Bài 2: Cho a, b, c > 0 và 11+a+11+b+11+c=2. Chứng minh abc18

Có: 11+a+11+b+11+c=2

11+a=(111+b)+(111+c)=b1+b+c1+c2b1+b.c1+c=2bc(1+b)(1+c)

Tương tự: 11+b2ac(1+a)(1+c);11+c2ab(1+a)(1+b)

Nhân các bất đẳng thức dương, cùng chiều ta được: 

1(1+a)(1+b)(1+c)8abc(1+a)(1+b)(1+c) hay abc18(dpcm)

d. Dạng bài ghép cặp đôi

Bài tập: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Chứng minh (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abc

Lời giải: Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC nên: 

a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0

Có: 0<(a+bc)(b+ca)(a+bc)+(b+ca)2=b

0<(b+ca)(c+ab)(b+ca)+(c+ab)2=c

0<(c+ab)(a+bc)(c+ab)+(a+bc)2=a

Nhân ba đẳng thức dương cùng chiều ta được: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abc (đpcm)

Lộ trình khóa học DUO dành riêng cho cấp THCS sẽ được thiết kế riêng cho từng em học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước tăng 3 - 6 điểm trong bài thi của mình.

e. Dạng bài kết hợp đặt ẩn phụ và dự đoán kết quả

Bài 1: Cho x > 0; y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
A=x+y+12xy+x+y+xy+x+yx+y+12

Lời giải: 

Đặt a=x+y+12xy+x+yxy+x+yx+y+12=1a

Do m + n + p 3(mn + np + pm) => x +y + 12  3xy + x + y => a  3

Vậy Min A = 10/3 khi a = 3 => x = y = 1.

Bài 2: Cho x > 0; y > 0 và x + y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
P=(1x+1y).1+x2y2

Lời giải: 

Có: P(21x.1y).1+x2y2=21xy+xy

Đặt a = xy, do xy(x+y2)214=>0<a14, ta được:

P21a+a=2(1a+16a)15a221a.16a15a=2815a281514=17 do 0<a14

=> MinP = 17 khi a = 1/4 hay x = y = 1/2. 

f. Dạng bài tìm lại điều kiện của ẩn 

Cho x, y > 0 và 2x2 + 2xy + y2 - 2x 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=2x+4y2x3y

Có 2x2 + 2xy + y2 - 2x x2+2xy+y2+x22x+19
(x+y)2+(x1)29 mà (x+y)2(x+y)2+(x1)2(x+y)290<x+y3

Có: P=(2x+2x)+(4y+y)4x4y22x.2x+24y.y4(x+y)

=84(x+y)84.3=4 do (0<x+y3). Vậy MinP = -4 khi x = 1; y = 2. 

2. Các dạng bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki

2.1 Tổng hợp kiến thức

a. Dạng bộ hai số a;b và c;d bất kì: 

(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ac=bd

b. Dạng bộ ba số: 

(a1b1c1+a2b2c2+...+anbncn)2(a31+a32+...+a3n)(b31+b32+...+b3n)(c31+c32+...+c3n)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1: b: ... : c1 = a: b: ... : c= a: b: ... : cn

c. Bộ n số: 

(a1b1+a2b2+...+anbn)2(a21+a22+...+a2n)(b21+b22+...+b2n)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 

a1b1=a2b2=...=anbn với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. 

2.2 Một số dạng bài tập 

Bài 1: Cho 4x + 3y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2 + 3y2

Lời giải:

Có: 12=(4x+3y)2=(2.2x+3.3y)2(4+3)(4x2+3y2)=7A=>A17

Vậy Min A = 1/7 khi: {2x3y=3x34x+3y=1x=y=17

Bài 2: Cho 4a2 + 25b2 110. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = 6a - 5b. 

Lời giải: 
Có H2=(6a5b)2=(3.2a+(1).5b)2(9+1)(4a2+25b2)=10(4a2+25b2)10.110=1=>H1

Vậy MaxH = 1 khi: {2a3=5b16a5b=1{2a+15b=018a15b=3{a=320b=150

Bài 3: Cho x2 + y2 + z2 = 3/4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z

Lời giải:
Có: P2=(1.x+1.y+1.z)2(12+12+12)(x2+y2+z2)=3.34=194P32

Vậy MaxP = 3/2 khi: {x1=y1=z1x+y+z=32x=y=z=12

Bài 4: Cho a 0; b  0; c  0 và a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=b+c+c+a+a+b

Lời giải: 
Có: P2=(1b+c+1c+a+1a+b)2(12+12+12)(b+c2+c+a2+a+b2)=6(a+b+c)=6=>P6

Vậy MaxP = 6 khi: {a+b1=b+c1=c+a1a+b+c=1a=b=c=13

 

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3 

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân 

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7  

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả 

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!
 

 

Các dạng bài tập bất đẳng thức không chỉ là một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán 9 mà còn thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi và đề thi toán vào 10. Việc nắm vững các dạng bài tập bất đẳng thức và rèn luyện kỹ năng giải toán sẽ giúp bạn phát triển tư duy logic và nâng cao thành tích học tập. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích để xử lý tốt dạng toán bất đẳng thức. Chúc bạn học tốt và gặt hái thành công! 

>> Mời bạn tham khảo thêm:

Banner after post bài viết tag lớp 9
0 | 0 đánh giá
Bình luận

VNESCHOOL là nền tảng cung cấp các khoá học online, chất lượng cao cho học sinh tiểu học và THCS. Chúng tôi cam kết mang tới cho học sinh trải nghiệm học đầy hào hứng và hiệu quả, giúp học sinh hiểu sâu, nắm chắc chương trình học trên lớp và đạt điểm cao trong các kì thi. Đồng thời chúng tôi cung cấp công cụ báo cáo cá nhân hoá nhằm hỗ trợ phụ huynh theo dõi sát sao và hiểu được năng lực của con trong quá trình học tập.


Địa chỉ: Tầng 1, Toà nhà Rivera Park , số 69 Vũ Trọng Phụng, Phường Thanh Xuân Trung, Quận Thanh Xuân, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Hotline: 0963345212