Các dạng bài tập bất đẳng thức thường gặp trong toán 9

1. Các dạng bài tập bất đẳng thức cosi (Cauchy) 

1.1 Tổng quan kiến thức

* Bất đẳng thức trung gian: 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\forall x>0; y>0$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y. 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\forall x>0; y>0; z>0$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 

1.2 Một số ví dụ về dạng bài tập bất đẳng thức cosi

a. Dạng bài tổng sang tích

Bài 1: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 4x² - 3x + $\frac{1}{4}x$ + 2011.

Lời giải: Có M = 4x² - 3x + $\frac{1}{4}x$ + 2011

$=(2x-1)^{2}+\left ( x+\frac{1}{4x} \right )+2010\geq 0+2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}+2010=2011$

Vậy MinM = 2011 khi $x=\frac{1}{2}$

Bài 2: Cho x > y > 0 và xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H=\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$

Có $H=\frac{x^{2}+y^{2}-2xy + 2xy}{x-y}=\frac{(x-y)^{2}+4}{x-y}$

$=(x-y)+\frac{4}{x-y}\geq 2\sqrt{(x-y).\frac{4}{x-y}}=4$

Vậy MinH = 4 khi: 

$\left\{\begin{matrix}
x-y=\frac{4}{x-y} \\xy=2
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x-y=2 \\xy=2
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
y=2-x\\x^{2}-2x-2=0
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\sqrt{3}+1 \\y=\sqrt{3}-1
\end{matrix}\right.$

b. Dạng bài tích sang tổng, nhân bằng số thích hợp

Bài 1: Cho $a\geq 0;b\geq 0; a^{2}+b^{2}\leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=a\sqrt{b(a+2b)}+b\sqrt{a(b+2a)}$

Lời giải:
Xét: $M.\sqrt{3}$

$=a\sqrt{3b(a+2b)}+b\sqrt{3a(b+2a)}\leq a.\frac{3b(a+2b)}{2}+b.\frac{3a+(b+2a)}{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+5ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}+5.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq 6\Rightarrow M\leq 2\sqrt{3}$

Vậy MaxM = $2\sqrt{3}$ khi a = b = 1

Bài 2: $a\geq 1; b\geq 1$. Chứng minh $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

Có: $\sqrt{b-1}=\sqrt{1.(b-1)}\leq \frac{1+(b-1)}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a\sqrt{b-1}\leq \frac{ab}{2}$

Và tương tự: 

$b\sqrt{a-1}\leq \frac{ab}{2}\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq \frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab\Rightarrow dpcm$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2.  

c. Dạng bài qua một bước biến đổi rồi sử dung BĐT cosi

Bài 1: Cho a > 0; b > 0; c > 0 và ab + bc + ac = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P=\frac{a^{2}}{c(c^{2}+a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(a^{2}+b^{2})}+\frac{c^{2}}{b(b^{2}+c^{2})}$

Lời giải: 
Có: $P=\frac{a^{2}}{c(c^{2}+a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(a^{2}+b^{2})}+\frac{c^{2}}{b(b^{2}+c^{2})}$

$=\frac{a^{2}+c^{2}-c^{2}}{c(c^{2}+a^{2})}+\frac{b^{2}+a^{2}-a^{2}}{a(a^{2}+b^{2})}+\frac{c^{2}+b^{2}-b^{2}}{b(b^{2}+c^{2})}$

$=\left ( \frac{1}{c}-\frac{c}{c^{2}+a^{2}} \right )+ \left ( \frac{1}{a}-\frac{a}{a^{2}+b^{2}} \right )+\left ( \frac{1}{b}-\frac{b}{b^{2}+c^{2}} \right )\geq \left ( \frac{1}{c}-\frac{c}{2\sqrt{c^{2}a^{2}}} \right )+\left ( \frac{1}{a}-\frac{a}{2\sqrt{a^{2}b^{2}}} \right )+\left ( \frac{1}{b}-\frac{b}{2\sqrt{b^{2}c^{2}}} \right )$

$=\left ( \frac{1}{c}-\frac{1}{2a} \right )+\left ( \frac{1}{b}-\frac{1}{2b} \right )+\left ( \frac{1}{b}-\frac{1}{2c} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{ab+bc+ac}{2abc}=\frac{3}{2}$

Vậy MinP = 3/2 khi a = b = c = 1. 

Bài 2: Cho a, b, c > 0 và $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$. Chứng minh $abc\leq \frac{1}{8}$

Có: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$

$\Rightarrow \frac{1}{1+a}=\left ( 1-\frac{1}{1+b} \right )+\left ( 1-\frac{1}{1+c} \right )=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geq 2\sqrt{\frac{b}{1+b}.\frac{c}{1+c}}=2\sqrt{\frac{bc}{(1+b)(1+c)}}$

Tương tự: $\frac{1}{1+b}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(1+a)(1+c)}};\frac{1}{1+c}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}$

Nhân các bất đẳng thức dương, cùng chiều ta được: 

$\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq \frac{8abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$ hay $abc\leq \frac{1}{8}(dpcm)$

d. Dạng bài ghép cặp đôi

Bài tập: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Chứng minh (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) $\leq $abc

Lời giải: Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC nên: 

a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0

Có: $0<\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)}\leq \frac{(a+b-c)+(b+c-a)}{2}=b$

$0<\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)}\leq \frac{(b+c-a)+(c+a-b)}{2}=c$

$0<\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}\leq \frac{(c+a-b)+(a+b-c)}{2}=a$

Nhân ba đẳng thức dương cùng chiều ta được: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) $\leq $abc (đpcm)

Lộ trình khóa học DUO dành riêng cho cấp THCS sẽ được thiết kế riêng cho từng em học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước tăng 3 - 6 điểm trong bài thi của mình.

e. Dạng bài kết hợp đặt ẩn phụ và dự đoán kết quả

Bài 1: Cho x > 0; y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
$A=\frac{x+y+1^{2}}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{x+y+1^{2}}$

Lời giải: 

Đặt $a=\frac{x+y+1^{2}}{xy+x+y}\Rightarrow \frac{xy+x+y}{x+y+1^{2}}=\frac{1}{a}$

Do m + n + p² $\geq $ 3(mn + np + pm) => x +y + 1²  $\geq $3xy + x + y => a $\geq $ 3

Vậy Min A = 10/3 khi a = 3 => x = y = 1.

Bài 2: Cho x > 0; y > 0 và x + y $\leq $1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
$P=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right ).\sqrt{1+x^{2}y^{2}}$

Lời giải: 

Có: $P\geq \left ( 2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}} \right ).\sqrt{1+x^{2}y^{2}}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}$

Đặt a = xy, do $xy\leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}\leq \frac{1}{4}=> 0<a\leq \frac{1}{4}$, ta được:

$P\geq 2\sqrt{\frac{1}{a}+a}=2\sqrt{\left ( \frac{1}{a}+16a \right )-15a}\geq 2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{a}.16a}-15a}=2\sqrt{8-15a}\geq 2\sqrt{8-15\frac{1}{4}}=\sqrt{17}$ do $0<a\leq \frac{1}{4}$

=> MinP = $\sqrt{17}$ khi a = 1/4 hay x = y = 1/2. 

f. Dạng bài tìm lại điều kiện của ẩn 

Cho x, y > 0 và 2x² + 2xy + y² - 2x $\leq $8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{2}{x}+\frac{4}{y}-2x-3y$

Có 2x² + 2xy + y² - 2x $\leq $8 $\Leftrightarrow x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}-2x+1\leq 9$
$\Leftrightarrow (x+y)^{2}+(x-1)^{2}\leq 9$ mà $(x+y)^{2}\leq (x+y)^{2}+(x-1)^{2}\Rightarrow (x+y)^{2}\leq 9\Rightarrow 0<x+y\leq 3$

Có: $P=\left ( \frac{2}{x}+2x \right )+\left ( \frac{4}{y}+y \right )-4x-4y\geq 2\sqrt{\frac{2}{x}.2x}+2\sqrt{\frac{4}{y}.y}-4(x+y)$

$=8-4(x+y)\geq 8-4.3=-4$ do ($0<x+y\leq 3$). Vậy MinP = -4 khi x = 1; y = 2. 

2. Các dạng bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki

2.1 Tổng hợp kiến thức

a. Dạng bộ hai số a;b và c;d bất kì: 

$\large (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac+bd)^{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\large \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

b. Dạng bộ ba số: 

$\large (a_{1}b_{1}c_{1}+a_{2}b_{2}c_{2}+...+a_{n}b_{n}c_{n})^{2}\leq (a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{n}^{3})(b_{1}^{3}+b_{2}^{3}+...+b_{n}^{3})(c_{1}^{3}+c_{2}^{3}+...+c_{n}^{3})$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a₁: b₁ : ... : c₁ = a₂ : b₂ : ... : c₂ = a_n : b_n : ... : c_n

c. Bộ n số: 

$\large (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 

$\large \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. 

2.2 Một số dạng bài tập 

Bài 1: Cho 4x + 3y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x² + 3y²

Lời giải:

Có: $1^{2}=(4x+3y)^{2}=(2.2x+\sqrt{3}.\sqrt{3}y)^{2}\leq (4+3)(4x^{2}+3y^{2})=7A=> A\geq \frac{1}{7}$

Vậy Min A = 1/7 khi: $\left\{\begin{matrix}
\frac{2x}{3y}=\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}} \\4x+3y=1
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{7}$

Bài 2: Cho 4a² + 25b² $\leq\frac{1}{10} $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = 6a - 5b. 

Lời giải: 
Có $H^{2}=(6a-5b)^{2}=(3.2a+(-1).5b)^{2}\leq (9+1)(4a^{2}+25b^{2})=10(4a^{2}+25b^{2})\leq 10.\frac{1}{10}=1=>H\leq 1$

Vậy MaxH = 1 khi: $\left\{\begin{matrix}
\frac{2a}{3}=\frac{5b}{-1} \\6a-5b=1
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2a+15b=0 \\18a-15b=3
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=\frac{3}{20} \\b=\frac{-1}{50}
\end{matrix}\right.$

Bài 3: Cho x² + y² + z² = 3/4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z

Lời giải:
Có: $P^{2}=(1.x+1.y+1.z)^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3.\frac{3}{4}=\frac{19}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}$

Vậy MaxP = 3/2 khi: $\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1} \\x+y+z=\frac{3}{2}
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2} $

Bài 4: Cho a $\geq $ 0; b $\geq $ 0; c $\geq $ 0 và a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b} $

Lời giải: 
Có: $P^{2}=(1\sqrt{b+c}+1\sqrt{c+a}+1\sqrt{a+b})^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(\sqrt{b+c}^{2}+\sqrt{c+a}^{2}+\sqrt{a+b}^{2}) =6(a+b+c)=6=>P\leq \sqrt{6}$

Vậy MaxP = $\sqrt{6}$ khi: $\left\{\begin{matrix}
\frac{\sqrt{a+b}}{1}=\frac{\sqrt{b+c}}{1}=\frac{\sqrt{c+a}}{1}\\a+b+c=1
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Các dạng bài tập bất đẳng thức không chỉ là một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán 9 mà còn thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi và đề thi toán vào 10. Việc nắm vững các dạng bài tập bất đẳng thức và rèn luyện kỹ năng giải toán sẽ giúp bạn phát triển tư duy logic và nâng cao thành tích học tập. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích để xử lý tốt dạng toán bất đẳng thức. Chúc bạn học tốt và gặt hái thành công! 

>> Mời bạn tham khảo thêm:

• Bất đẳng thức am gm là gì
• Bất đẳng thức bunhiacopxki lớp 9
• Bất đẳng thức chebyshev