Giải đáp toán 9: Bất đẳng thức am gm là gì?

1. Bất đẳng thức am gm là gì?

Trong chương trình toán 9 nói riêng và toán học phổ thông hiện nay, bất đẳng thức sau rất quen thuộc: 
Nếu x₁, x₂,... x_n là các số thực không âm thì: 

$\large \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}(1)$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ =...= x_n

Bất đẳng thức này có tên chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Inequality of Arithmetic Mean and Geometric Mean). Ở nhiều nơi trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean).

Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên nhà toán học Augustin-Louis Cauchy hay bất đẳng thức Cauchy (bất đẳng thức cô-si) vì ông là người đã đưua ra phép chứng minh cho nó. Vậy bất đẳng thức am gm chính là bất đẳng thức cô-si quen thuộc trong toán học ở Việt Nam. 

2. Các dạng thường gặp của bất đẳng thức am gm

2.1 Trường hợp hai số thực không âm

Trong trường hợp n = 2, lúc này bất đẳng thức (1) được viết lại thành: Nếu a, b là các số thực không âm thì: 

$\large \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 

Bất đẳng thức này còn được viết ở hai dạng khác tương đương là:
$\large ab\leq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2}.(a+b)^{2}\geq 4ab; a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$

Lộ trình khóa học DUO dành riêng cho cấp THCS sẽ được thiết kế riêng cho từng em học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước tăng 3 - 6 điểm trong bài thi của mình.

2.2 Trường hợp ba số thực không âm

Trường hợp n = 3. Ta có bất đẳng thức am gm cho ba biến không âm: Nếu a, b, c là các số thực không âm thì: 

$\large \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 

Trong thực tế áp dụng, ta còn sử dụng một dạng khác tương đương của bất đẳng thức này là:

$\large abc\leq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{3}$

Sau đây là một chuỗi đánh giá được thiếp lập dựa trên bất đẳng thức am gm. Với mọi số thực a, b, c ta luôn có:

$\large a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

$\large a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$

$\large (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

$\large (ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$ 

2.3 Trường hợp n số thực không âm

Với n thực không âm ta có: $\large x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\geq n\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}$

Dấu bằng xảy ra khi x₁ = x₂ =... = x_n. 

3. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức am - gm

3.1 Kỹ thuật tách ghép cơ bản

Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:

Phép cộng: $\large \left\{\begin{matrix}
a+b+c=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2} & \\2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)
\end{matrix}\right.$

Phép nhân: $\large \left\{\begin{matrix}
abc=\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca}(a,b,c\geq 0) & \\a^{2}b^{2}c^{2}=(ab)(bc)(ca)
\end{matrix}\right.$

3.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo

Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau:

Với $\large n\in N^{*}$ và x₁, x₂, ..., x_n > 0 thì:

$\large (x_{1}+x_{2}+...+x_{n})\left ( \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}} \right )\geq n^{2}$

Chứng minh đẳng thức trên:

Ta có với x₁, x₂, ..., x_n > 0 thì:

$\large (x_{1}+x_{2}+...+x_{n})\left ( \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}}\right )\geq n\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}.n\sqrt[n]{\frac{1}{x_{1}x_{2}...x_{n}}}=n^{2}$

Với n = 3 và x₁,x₂,x₃ > 0 thì: 

$\large (x_{1}+x_{2}+x_{3})\left ( \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}} \right )\geq 9$

Bất đẳng thức AM-GM không chỉ là một khái niệm lý thuyết quan trọng trong toán học mà còn được ứng dụng trong nhiều chuyên ngành khác. Kiến thức về bất đẳng thức này giúp chúng ta phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn giải đáp về bất đẳng thức am gm là gì và những ứng dụng của nó trong thực tiễn.