Lý thuyết về bất đẳng thức chebyshev toán 9
Bất đẳng thức Chebyshev là một trong những kiến thức hữu giúp giải các bài toán bất đẳng thức nâng cao ở chương trình Toán 9 và các cuộc thi toán học. Trong bài viết này, hãy cùng khám phá lý thuyết cơ bản về bất đẳng thức Chebyshev, cách áp dụng nó vào bài toán cũng như một số ví dụ minh họa cụ thể.
1. Bất đẳng thức chebyshev dạng tổng quát 1
Cho hai dãy $a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq ...\geq a_{n}$ và $b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq ...\geq b_{n}$ (2 dãy giảm). Khi đó ta có:
$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}.\frac{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}{n}\leq \frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}}{n}$
Hay $(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})\leq n(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$ hoặc $ b_{1}=b_{2}=...=b_{n}$
2. Bất đẳng thức chebyshev dạng tổng quát 1
Cho hai dãy $a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq ...\geq a_{n}$ và $b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq ...\leq b_{n}$ (một giảm, một tăng). Khi đó ta có:
$ \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}.\frac{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}{n}\geq \frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}}{n}$
Hay $(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})\geq n(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$ hoặc $ b_{1}=b_{2}=...=b_{n}$
Lộ trình khóa học DUO dành riêng cho cấp THCS sẽ được thiết kế riêng cho từng em học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước tăng 3 - 6 điểm trong bài thi của mình.
3. Bất đẳng thức chebyshev: Chú ý
a. Để nhớ được chiều của bất đẳng thức nên chứng minh cho trường hợp n = 2. Rồi từ đó suy ra trong trường hợp tổng quát.
b. Đặc biệt: Với n = 3 ta có:
Nếu a $\leq $ b $\leq $ c và A $\leq $ B $\leq $ C ta có:
(a + b + c)(A + B + C) $\leq $ 3(aA + bB + cC)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc A = B = C.
Nếu a $\leq $ b $\leq $ c và A $\geq $ B $\geq $ C ta có:
(a + b + c)(A + B + C) $\geq $ 3(aA + bB + cC)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc A = B = C
c. Chứng minh rằng: Nếu a $\leq $ b $\leq $ c và A $\leq $ B $\leq $ C ta có:
(a + b + c)(A + B + C) $\leq $ 3(aA + bB + cC)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc A = B = C.
Thật vậy: (a + b + c)(A + B + C) $\leq $ 3(aA + bB + cC)
$\Leftrightarrow $ aA+aB+aC+bA+bB+bC+cA+cB+cC $\leq $ 3aA + 3bB + 3cC
$\Leftrightarrow $ 2aA+2bB+2cC- +aB -aC+bA-bC-cA-cB $\geq $ 0
$\Leftrightarrow $ (a - b)(A - B) + (b - c)(B - C) + (c - a)(C - A) $\geq $ 0 ( luôn đúng theo giả thiết)
HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học
⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7
⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả
⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia
Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!
Bất đẳng thức Chebyshev chương trình Toán 9, giúp giải quyết nhiều dạng bài toán bất đẳng thức ở cấp cao hơn. Việc hiểu rõ lý thuyết, cách sử dụng sẽ giúp bạn sử dụng bất đẳng thức này một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt và khám phá thêm nhiều điều thú vị trong thế giới toán học!
>> Mời bạn tham khảo thêm:
