Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác| Toán 7 chương trình mới

1. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác

1.1 Đường trung trực của tam giác

- Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác. Trên hình, d là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC. 

1.2 Sự đồng quy của ba đường trung trực

- Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác. 

- Trong tam giác ABC, các đường trung trực d, m, n đồng quy tại O và OA = OB = OC. 

- Nhận xét: Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó ( OA = OB = OC) nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. 

2. Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác

2.1 Đường cao của tam giác

- Trong hình trên, đoạn thẳng AI là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AI là đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A ( hay đường cao ứng với cạnh BC). 

2.2 Sự đồng quy của ba đường cao

- Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm. Chẳng hạn trong tam giác ABC, các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại H.

- Chú ý: 

+ Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

+ Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta có:

• Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác; 
• Khi ABC là tam giác vuông tại A thì H trùng với A (kí hiệu là H  A); 
• Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác. 

3. Bài tập sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

3.1 Bài tập sách toán 7 kết nối tri thức

Bài 9.26 trang 91 SGk Toán 7/2 kết nối tri thức

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Xét HBC có HD  BC, BF HC.

HD cắt BF tại A nên A là trực tâm của HCA.

Xét HCA có HE AC, BF HC.

HE cắt BF tại B nên B là trực tâm của HCA.

Xét HAB có HF  AB, AE HB.

HF cắt AE tại C nên C là trực tâm của HAB.

Bài 9.27 trang 91 SGk Toán 7/2 kết nối tri thức

Gọi D, F, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Ta có  (2 góc đối đỉnh),  (2 góc đối đỉnh).

Do đó  .

Xét FAH vuông tại F:  = 90^o (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó .

Xét EAH vuông tại E:  = 90^o (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó .

Khi đó 

hay 

Do đó  = 180^o – 100^o = 80^o.

Vậy  = 80^o.

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

Bài 9.28 trang 91 SGk Toán 7/2 kết nối tri thức

Giả sử O nằm trên cạnh BC.

Do OA = OB nên ∆OAB cân tại O.

Do đó .

Do OA = OC nên ∆OAC cân tại O.

Do đó .

Khi đó  hay 

Xét ABC có 

Mà  nên  hay 

Do đó ABC vuông tại A.

Vậy nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC và O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

Bài 9.29 trang 91 SGk Toán 7/2 kết nối tri thức

Để xác định bán kính của đường tròn này ta thực hiện như sau:

Bước 1. Xác định 3 điểm A, B, C nằm trên đường viền của chi tiết máy.

Bước 2. Xác định các đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 3. Xác định giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 4. Độ dài đoạn thẳng OB là bán kính của đường tròn.

b) Coi 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của tam giác ABC.

Do M cách đều A và B nên MA = MB.

Do đó M nằm trên đường trung trực của AB.

Do M cách đều B và C nên MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của BC.

Vậy M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 9.30 trang 91 SGk Toán 7/2 kết nối tri thức

Ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng b và cắt đường thẳng c tại một điểm. Điểm này chính là điểm C.

Bước 2. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng c và cắt đường thẳng b tại một điểm. Điểm này chính là điểm B.

Bước 3. Nối hai điểm B, C ta được tam giác ABC.

3.2 Bài tập sách toán 7 chân trời sáng tạo 

Bài 1 trang 72 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

a) Gọi ba đỉnh của tam giác là A; B; C.

Điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

+) Tam giác nhọn:

+) Tam giác vuông:

+) Tam giác tù:

b) Với tam giác nhọn, giao điểm ba đường trung trực của tam giác nằm trong tam giác đó.

Với tam giác vuông, giao điểm ba đường trung trực của tam giác là trung điểm cạnh huyền của tam giác đó.

Với tam giác tù, giao điểm ba đường trung trực của tam giác nằm ngoài tam giác đó.

Bài 2 trang 72 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

O là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Khi đó do M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA nên MO  AB, NO  BC, PO  AC.

Bài 3 trang 72 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Để xác định bán kính của chiếc đĩa cổ, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định ba điểm A, B, C thuộc đường viền của chiếc đĩa.

Bước 2. Xác định giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 3. Khi đó độ dài đoạn OB là bán kính của chiếc đĩa cổ.

Ta có hình vẽ sau:

3.3 Bài tập sách toán 7 cánh diều 

Bài 1 trang 115 SGK toán 7/2 cánh diều 

Do OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 2 trang 115 SGK toán 7/2 cánh diều

a) Ta có hình vẽ sau:

b) Ta có hình vẽ sau:

c) Ta có hình vẽ sau:

Bài 3 trang 115 SGK toán 7/2 cánh diều

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do G vừa là trọng tâm của tam giác và P là trung điểm của AB nên C, G, P thẳng hàng.

Do G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên G nằm trên đường trung trực của cạnh AB do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Suy ra CA = CB.

Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.

Do đó AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Bài 4 trang 115 SGK toán 7/2 cánh diều

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ I đến BC, CA, AB.

Do I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên IM = IN = IP.

Do I là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên I nằm trên đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Suy ra đường thẳng qua I, vuông góc với BC, CA, AB lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Do đó M, N, P lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Suy ra M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do AI là đường phân giác của  nên .

Xét PAI vuông tại P và NAI vuông tại N có:

AI chung.

 (chứng minh trên).

Suy ra PAI = NAI(cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó PA = NA (2 cạnh tương ứng).

Mà P là trung điểm của AB nên PA = 1/2BA; N là trung điểm của CA nên NA = 1/2CA.

Suy ra AB = CA.

Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.

Do đó AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Bài 5 trang 115 SGK toán 7/2 cánh diều

a) Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC.

Mà ba đường trung trực trong tam giác đồng quy nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó OM  BC.

b) Do OM BC nên ∆OMB và OMC vuông tại M.

Xét OMB vuông tại M và OMC vuông tại M có:

OM chung.

MB = MC (theo giả thiết).

Do đó OMB = OMC (2 cạnh góc vuông).

Suy ra  (2 góc tương ứng).

Trên đây là những kiến thức về bài học Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác trong chương trình toán lớp 7. Qua bài học, các em đã biết được về mối quan hệ giữa các đường trung trực, đường cao trong tam giác và áp dụng giải các bài tập hình học toán 7. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!   

>> Mời bạn tham khảo thêm: 

• Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
• Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
• Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác