Phép Biến Hình Lớp 11: Định Nghĩa, Các Phép Biến Hình Và Bài Tập

1. Lý thuyết phép biến hình

1.1. Phép biến hình là gì?

Phép biến hình là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một và chỉ một điểm M. Ảnh của điểm M qua phép biến hình được gọi là điểm M’.

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó chính là phép đồng nhất. 

1.2. Ký hiệu

Nếu chúng ta kí hiệu phép biến hình là f

$\Rightarrow$ f(M) = M' (f biến M thành M')

M' được gọi là ảnh của M khi đi qua f.

1.3. Ví dụ

Ví dụ 1: 

Ta sẽ được một phép biến hình khi cho đường thẳng d. Với mỗi một điểm M ta xác định được điểm M’ là hình chiếu vuông góc của M trên d.

Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d được gọi là phép biến hình.

Ví dụ 2: 

Với mỗi một điểm M ta xác định được điểm M’ theo quy tắc $\overrightarrow{MM'}=\vec{u}$ theo vecto $\vec{u}$

Ví dụ 3: Ta xác định được điểm M’ trùng với điểm M, với mỗi điểm M đã cho thì ta có được một phép biến hình, được gọi là phép đồng nhất.

2. Các phép biến hình lớp 11

Có bao nhiêu phép biến hình trong dạng bài phép biến hình lớp 11? Hãy cùng tìm hiểu ngay sau đây.

2.1. Phép tịnh tiến

Trong một mặt phẳng cho vecto $\overrightarrow{v}(a,b)$. Phép tịnh tiến theo một vecto $\overrightarrow{v}$ là một phép biến hình, biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho $=\overrightarrow{MM'}=\vec{v}$

Kí hiệu: $T_{\overrightarrow{v}}$

Tính chất:

• Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N thành 2 điểm M’ và N’ thì MN = M’N’.

• Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và sẽ không làm thay đổi thứ tự của 3 điểm. 

Biểu thức tọa độ: 

Ví dụ: Cho $\overrightarrow{v}(a,b)$ và điểm M(x;y). Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$  biến điểm M thành điểm M’ thì M’ sẽ có tọa độ như sau:

$\left\{\begin{matrix}
x'=a+x\\ 
y'=b+y
\end{matrix}\right.$

Ví dụ: Cho vecto $\overrightarrow{u}(1,3)$ và cho đường thẳng d: 2x−y+3=0 trong mặt phẳng Oxy. Đường thẳng d′ được gọi là ảnh của d qua phép tịnh tiến $T_{\bar{u}}$. Hãy viết phương trình.

Giải:

Lấy điểm M(0;−3) là điểm bất kì trên d

Gọi $T_{\bar{u}}(M)=M′$. Khi đó M′(1;0)

Vì d′//d ⇒ d′:2x−y+c=0

Vì M′(1;0) ∈ d′ ⇒ c=−2

Phương trình d′: 2x−y−2=0

2.2. Phép dời hình

Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.

Tính chất:

• Biến tia thành tia, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm.

• Biến góc thành góc và tam giác thành tam giác bằng nó.

• Biến đường tròn thành một đường tròn khác có cùng bán kính R.

2.3. Phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục d là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho d là đường trung trực của MM’.

Kí hiệu: $D_{d}$

Tính chất:  

• Đối với 2 điểm đầu cho trước, khoảng cách trong phép đối xứng luôn được nguyên vẹn.

• Đường thẳng khi ta lấy đối xứng sẽ có một đường thẳng mới và tương tự đối với trường hợp khi đó là đoạn thẳng, đường tròn có bán kính tương tự hay tam giác.

Biểu thức tọa độ: 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (x,y) và điểm M’(x’,y’):

Nếu $M'=D_{Ox}(M)$ thì $\left\{\begin{matrix}
x'=x\\ 
y'=-y
\end{matrix}\right.$

Nếu $M'=D_{Oy}(M)$ thì $\left\{\begin{matrix}
x'=-x\\ 
y'=y
\end{matrix}\right.$

Ví dụ: Cho đường thẳng d: x−2y+4=0 và điểm M(1;5) trong mặt phẳng Oxy. Xác định ảnh M′ của M qua phép đối xứng trục $D_{d}$.

Giải:

Có đường thẳng d: x−2y+4=0

⇒ $\vec{u}(1;−2)$ là vtpt của d

⇒ $\vec{n}(2;1)$ là vtcp của d

Vì d là trung trực của MM′

⇒ $\vec{n}(2;1)$ là vtpt của MM′

⇒ MM′: 2x+y−7=0

Gọi K = MM′ ∩ d ⇒ tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình sau đây:

$\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x-2y+4=0\\ 
2x+y-7=0
\end{matrix}\right. \Rightarrow &  \left\{\begin{matrix}
x=2\\ 
y=3
\end{matrix}\right.& 
\end{matrix}$

Vậy điểm K(2;3). M′=(3;1) vì K chính là trung điểm MM′.

2.4. Phép đối xứng tâm

Đối với mặt phẳng bất kì và điểm E cho trước $\epsilon$ mặt phẳng. Phép biến hình biến M của mặt phẳng thành điểm M’ sao cho $\overline{EM'} = \overline{-EM}$.

Đây gọi là phép đối xứng tâm E.

Kí hiệu: Đ$_{E}(M)=M'$

Tính chất:

• Nếu 3 điểm N, M, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối tâm biến thành 3 điểm N’, M’, P’ cũng thẳng hàng theo thứ tự.

Biểu thức tọa độ:

Trong một mặt phẳng bất kỳ và điểm E với tọa độ cho trước và điểm M $(x_{0},y_{0})$. 

Đ$_{E}(M)=M'(x'_{0},y'_{0})$ có biểu thức tọa độ là:

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng ôn kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán sớm đạt 9+

2.5. Phép quay

Phép quay có góc α tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và (OM, OM') = α.

Kí hiệu: $Q_{(O,\alpha)}$ (O là tâm phép quay, $\alpha$ là góc quay lượng giác).

$Q_{(O,\alpha)}(M)=M' \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
OM=OM'\\ 
(OM,OM')=\alpha
\end{matrix}\right.$

Tính chất:

• Phép quay biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó.

• Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm khác thẳng hàng và không thay đổi thứ tự.

• Biến góc thành góc bằng nó.

Biểu thức tọa độ:

2.6. Phép đồng dạng

Phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng với tỉ số k (k>0).

Nếu 2 điểm M và N bất kì và ảnh M' và N' của chúng ta có đoạn M'N'=k.MN

Các phép dời hình như phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm,... là phép đồng dạng có tỉ số k=1. 

Phép đồng dạng có tỉ số |k| cũng chính là phép vị tự.

Phép đồng dạng không phải phép dời hình. Khi k=1 nó mới là phép dời hình.

Tính chất: 

Phép đồng dạng với tỉ số k sẽ:

• Biến tia thành tia, đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

• Biến góc thành góc bằng nó, tam giác đồng dạng với một tam giác đã cho.

• Biến đường tròn thành đường tròn khác bán kính $\begin{vmatrix} k \end{vmatrix}$.R.

2.7. Phép vị tự

Phép vị tự có tâm O tỉ số k là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho $\overrightarrow{OM'}$=k lần $\overrightarrow{OM}$

Kí hiệu: $V_{(O;k)}(M)=M'$ 

<=> $\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}$

Tính chất:

• Phép vị tự tâm O tỉ số k biến N thành N', M thành M'. Đoạn M'N'=|k|.MN.

• Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, không thay đổi thứ tự.

• Biến góc thành góc bằng nó, 1 đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến 1 tia thành 1 tia.

• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng khác có độ dài gấp |k| lần.

• Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính R'=|k.R|.

Biểu thức tọa độ:

3. Ứng dụng phép biến hình vào bài giải toán quỹ tích

Các phép biến hình lớp 11 được ứng dụng vào bài giải toán quỹ tích. Dưới đây là các phương pháp ứng dụng phép biến hình vào bài:

• Phép tịnh tiến:

Ta chỉ ra được vecto $\bar{v}$ cố định. Xét phép tịnh tiến $T_{\bar{v}}$  biến M thành điểm M′. Biết điểm M chạy trên đường C thì quỹ tích điểm M′ là đường C′ thỏa mãn $C′=T_{\bar{v}}(C)$.

• Phép đối xứng trục

Chỉ ra đường thẳng d cố định. Xét phép đối xứng trục $D_{d}$ biến M thành điểm M′. Biết điểm M chạy trên đường C thì quỹ tích điểm M′ là đường C′ thỏa mãn $C′=D_{d}(C)$.

• Phép quay

Ta chỉ ra được một điểm O cố định và góc lượng giác $\alpha$ không đổi. Điểm M’ qua phép $Q_{(\sigma,\alpha)}$ có ảnh là điểm M cần tìm quỹ tích. Biết M’ chạy trên $(\varphi)$ thì M chạy trên $(\varphi')$ chính là ảnh của $(\varphi)$ qua phép $Q(\sigma,\alpha)$.

Trường hợp đặc biệt của phép quay với góc quay $180^{\circ}$ là phép đối xứng tâm

• Phép vị tự 

Ta chỉ ra được điểm O cố định và hằng số k. Xét phép vị tự có tâm O với tỉ số k. Điểm M có ảnh là M’ cần tìm quỹ tích. Biết rằng M chạy trên () thì M’ chạy trên (C’) là ảnh của (C) qua V(O,k).

4. Một số bài tập về phép biến hình lớp 11 từ cơ bản đến nâng cao

4.1. Bài tập vận dụng (có lời giải)

Bài 1: Cho một đường tròn có bán kính R=2, tâm (1,-1). Đường tròn (S) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép vị tự tâm O tỉ số (-2) và phép tịnh tiến vecto $\bar{v}(-1,2)$. Khi ấy tâm và bán kính của đường tròn là?

Giải:

Bài 2: Tập hợp của các điểm D là gì khi cho hình bình hành ABCD có AB cố định, điểm C thuộc đường tròn (O) tâm A, bán kính R. 

Có: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

$\Rightarrow D=T_{\overrightarrow{BA}}$

Ta lại có (C) thuộc đường tròn O(A,R) suy ra D thuộc đường tròn (O’) được gọi là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{BA}$.

Tập hợp các điểm D là $T_{\overrightarrow{BA}}(C)$.

Bài 3: AA’ có tọa độ là bao nhiêu biết phép đối xứng tâm I(2,1) biến điểm A(-1,3).

Giải:

Ta có phép đối xứng tâm I biến điểm A thành điểm A’ $\Rightarrow$ có điểm I là trung điểm của AA’.

$\Rightarrow$ A'(5,-1)

4.2. Bài tập trắc nghiệm (có đáp án) 

Bài 1: Chọn khẳng định nào sai trong các đáp án sau:

A. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng khác bằng nó bằng phép tịnh tiến.

B. Phép tịnh tiến có thể biến một tam giác thành tam giác khác bằng nó.

C. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng khác trùng hoặc song song.

D. Biến đường tròn thành đường tròn khác có cùng bán kính bằng phép quay. 

Theo các tính chất về phép biến hình $\Rightarrow$ C

Bài 2: Phép hợp thành của phép đối xứng trục Oy và phép tịnh tiến theo vecto $\bar{v}(2,1)$ biến (C) thành đường tròn nào, biết (C): $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4$?

A. $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=4$

B. $x^{2}+y^{2}=4$

C. $(x-2)^{2}+(y-6)^{2}=4$

D. $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4$

Giải:

Bài 3: Điểm M (4,1) có ảnh qua phép đối xứng trục Oy tọa độ là?

A. (-4,1)

B. (-4, -1)

C. (4, -1)

D. (0,1)

Giải:

Bài viết trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản về phép biến hình và các dạng bài tập phép biến hình thường hay gặp nhất trong chương trình Toán lớp 11. Nếu các bạn học sinh muốn đạt kết quả tốt hơn thì hãy làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Bạn có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề ngay hôm nay! 

Bài viết có thể tham khảo thêm:

Phép tịnh tiến